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求条件极值得几种方法

通过用基础解系的方法进行求解线性的目标函数在线性的约束条件下的极值问题;用向量的方法求解某些具有圆型或有限和型条件,目标函数是圆型或有限和型函数的条件极值问题。
关键词基础解系;拉格朗日乘数法;λ—算子;向量内积;平方和;条件极值
中图分类号G633.62文献标识码A文章编号1002-7661(2011)07-187-02

条件极值问题在日常生活中应用极广,涉及到的知识面较为广阔,解法多样.本文将阐述几种解条件极值的具体方法.
命题1在
0=0=0
的条件下具有条件的必条件是拉格朗日函数
满足
(2)
1用基础解系解某些条件极值问题
有关多元函数的条件极值问题,一般的解法是采用拉格朗日乘数法进行求解,在满足上面命题1的条件下,有条件的极值问题才有解.然而有一类特殊的条件极值问题却不满足拉格朗日乘数法求解的条件(1)、(2),这类问题如下

在=0(i=1,2,…,m)条件下的条件极值问题.利用拉格朗日乘数法得条件极值的必条件是
线型方程组

有解.但是,在很多情况下,方程组(3)和(4)是无解的。然而,问题却有极值。
例1求在
条件下的最大值.
解法利用拉格朗日乘数法,发现算子不存在,即方程组(3)和(4)无解,然而例1中有条件的极值问题是有解的,这样我们用基础解系进行求解由于目标函数是关于的函数,求出方程组
(5)
基础解系得通解为
(6)
代入目标函数中得又因为可得根据目标函数z的表达式可知,与是等价的,可使目标函数值更大,为使目标函数最大,我们尽可能使或增加到最大,由方程组(5)或(6),由,令,得,故最大值就是
即,得最大值z=700
例2求

在(7)
条件下的最大值解,同样此问题也不能利用拉格朗日乘数法求解,下面用基础解系求解
由方程组(8)
的基础解系得通解为,
代入目标函数,,又因为,可得,根据目标函数z的表达式可知,与等价并使目标函数增加更快.对方程组(8),最大可增加到2,这时=0.由方程(7)或(8)可得方程组
(9)
得到新的通解
代入目标函数,.同理与等价并使目标函数增加,对方程组(8),最大可增加到9/2,这时=0,由方程(7)或(8)或(9)可得方程组
得新的通解
代入目标函数,由x≥0,可得从而可知,
当时,使目标函数值z达到最大.
2用向量解法解某些条件极值问题
对于某些具有圆型或有限和型条件,而且目标函数是圆型或有限和型函数的条件极值问题,可通过构造恰当的向量,利用向量内积不等式获得简便的解法,下面先给出关于向量内积的基本不等式(柯西不等式)
若是k维向量,
(称为向量的模或长度),则
例3试求函数在条件下的最大值.
解法1(Lagrange乘数法)令
,
对L求偏导数并它们都等于0,则有
解此方程组得极值点的可疑点为,因问题本身的最大值存在,而可疑点只有一个,故

解法2令由向量内积的基本不等式(以下简称基本不等式)得

当,即时,有.
因此,在所有条件下的最大值是.
例4试求函数(a,b,c>0是常数),在条件x>0,y>0,z>0,xyz=k(k为常数)下的最小值.
解法1(Lagrange乘数法)令

对求偏导数并它们都等于0,则有

解此方程组得极值点的可疑点为
,因问题本身的最小值存在,而可疑点只有一个,故
.
解法2令
则由基本不等式有

即,
当,
即,亦即时,
有.所以,的最小值为.
3解法总结
某些线性的目标函数在线性的约束条件下的极值问题不能用拉格朗日乘数法求解,而可用基础解系的方法去求解,正如例1;对于某些具有圆型或有限和型条件,而且目标函数是圆型或有限和型函数的条件极值问题,可通过构造恰当的向量,利用向量内积不等式获得简便的解法,不过此种类型的条件极值问题也可用拉格朗日乘数法求解

参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析下册(第三版)[M].高等教育出版社,2004.(1)
[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社,2005.(4)
[3]彭舟,姬燕妮.数学分析同步辅导下册(第三版)[M].2005

注本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文